Mathematik für Biologiestudierende¶
Wintersemester 2023/24
- Oktober 2023
© 2023 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Informationen¶
- Vorlesungsverzeichnis: http://lsf.hhu.de
- ILIAS: http://ilias.hhu.de
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Wo Sie diese Präsentation bekommen, erkläre ich später
Warum Mathematik im Biologiestudium?¶
- Weil die enormen Fortschritte der Biologie in den letzten Jahrzehnten auch auf erfolgreiche Mathematisierung zurückzuführen sind
Themen dieser Vorlesung¶
- Exponentialfunktion, Wachstums- und Abklingprizesse
- Beschreibende Statistik
- Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
- Etwas Analysis
- Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitstheorie (Modellbildung)
- Schließende Statistik
- ausführlichere Beschreibung, wenn wir soweit sind
Organisatorisches¶
- Vorlesung: Mi 10:30-12:00 in Hörsaal 6J
- Kleingruppenübung: diverse Termine, melden Sie sich im LSF http://lsf.hhu.de zu passenden Terminen an. Es ist möglich, einen davon zu priorisieren. Aufteilung durch das ZIM voraussichtlich am 16.10. Bis dahin improvisieren Sie bitte.
- Offene Fragestunde: Fr 11:30-12:30 in Hörsaal 5E für technische Fragen
Übungen¶
Zur Vertiefung des Stoffes gibt es Übungsaufgaben unter http://fuchs.math.uni-duesseldorf.de.
- Ausgabe jeweils freitags
- Bearbeitung bis zum nächsten Sonntag (also neun Tage später)
- In den Kleingruppenübungen diskutieren Sie diese Aufgaben mit den Übungsleitungen
- Die Punkte aus den Übungen werden in Klausurpunkte umgerechnet und gehen zu maximal 5% im Winter und 5% im Sommer in die Klausur ein
Tutorium¶
- Freitag, 11:30-12:15 in Hörsaal 5E
Anwesenheitspflicht¶
Es gibt keine Anwesenheitspflicht in den Mathematik-Veranstaltungen des ersten und zweiten Semesters
Das heißt aber nicht, dass die Anwesenheit keinen Nutzen bringt
Modulprüfung¶
- Klausuren im Juli bzw. September 2024
- Teilnahme an einer der beiden Klausuren
- Übungspunkte gehen als Bonuspunkte in die Klausur ein
- Wer durchfällt: Wiederholungsklausur
- Schieben Sie die Mathe-Klausur nicht auf die lange Bank
Literatur¶
zur Theorie¶
- Adlung, Lorenz, Köthe, Schnellbächer, Staufer: Tutorium Mathe für Biologen
- Grabinger: Fit fürs Studium: Statistik
- Rudolf, Kuhlisch: Biostatistik (Lehrbuchsammlung)
- McKillup: Statistics Explained (Lehrbuchsammlung)
Grabinger dient dazu, den Übergang zu erleichtern
zur Berechnung mit dem Rechner¶
Zugang zu den E-Books nur aus dem Uni-Netz
Hilfsmittel¶
Taschenrechner für kleine Beispiele
einfacher "wissenschaftlicher" Taschenrechner genügt
Computerprogramm für realistischere Daten
- entweder auf eigenem Gerät
- oder in der Cloud
Details in der nächsten Vorlesung
Hilfsmittel in der Klausur¶
- vier beidseitig beschriebene A4-Blätter
- von eigener Hand mit Stift beschrieben, also keine Ausdrucke, auch nicht vom Tablett
- Taschenrechner, grafikfähig bzw. CAS erlaubt, bringen aber keinen Vorteil
Die Klausur findet klassisch mit Stift und Papier statt.
Bei den Aufgaben zur Software werden z.B. Computerausgaben gezeigt, die dann interpretiert werden sollen.
Ab jetzt: Mathematik¶
1/7
0.14285714285714285
7 * 1/7
1.0
7 * 1/7 - 1
0.0
(1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7) - 1
-2.220446049250313e-16
- Der Rechner rundet den Bruch $1/7$. Dadurch entsteht ein Rundungsfehler.
- Machmal heben sich die Rundungsfehler wieder auf, meistens nicht.
Exponentendarstellung¶
- Was ist
-2.2e-16
? 2.2e-3
ist $2.2 \cdot 10^{-3} = \frac{2.2}{1000} = 0.0022$- Der Zusatz
e-16
bedeutet, dass die Zahl durch $10^{16}$ geteilt wird
f"{-2.2e-16:22.19f}"
'-0.0000000000000002200'
Vorsätze für Maßeinheiten:¶
2.2e-16
km sind
2.2e-13
m2.2e-10
mm (Millimeter)2.2e-7
$\mu$m (Mikrometer)2.2e-4
nm (Nanometer)0.22
pm (Picometer)
- Der Rechner rechnet auf 16 Stellen Genauigkeit. Das ist meist ausreichend.
- Bei der Rechnung mit Taschenrechner von Hand sollte man mindstens vier bis sechs signifikante Stellen mitführen
Was ist eine signifikante Stelle?
- Das ist die Anzahl der gemessenen bzw. ausgerechneten Stellen ab der ersten Stellen die keine Null ist
Beispiel:
- 0.001234 vier signifikante Stellen
- 0.000001234 vier signifikante Stellen
- 0.12340 fünf signifikante Stellen (die 0 hinter der 4 ist tatsächlich gemessen worden)
- 12.34 vier signifikante Stellen
- 12340 unklar. Besser so:
- 1.234e4 vier signifikante Stellen
Die Anzahl der signifikanten Stellen ist unabhängig davon, in welcher Maßeinheit das Ergebnis ausgedrückt wird
Wachstums- und Abklingprozesse¶
Exponentialfunktion und Logarithmus¶
Potenzgesetze¶
Die Funktion $f(x) = a^x$ heißt Potenzfunktion
$a$ bezeichnet man als Basis und $x$ als Exponenten
Rechenregeln:
\begin{align*} a^{x+y} &= a^x \cdot a^y \\ (a\cdot b)^x &= a^x \cdot b^x \\ a^{-1} &= \frac1a \\ 1^x &= 1 \\ a^0 &= 1 \end{align*}
Beispiele zu den Rechenregeln¶
- $2^{3+4} = 2^7 = 128$
- $2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128$
- $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
- $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$
- $7^{-1} = \frac17$
- ${\frac34}^{-1} = \frac43$
Die Exponentialfunktion¶
Verzinsung¶
- die Bank zahlt 3% Zinsen
- aus 1€ wird nach einem Jahr $(1+p)$€, wobei $p=0.03$
- nach zwei Jahren hat man $(1+p)^2$€, nach dreien $(1+p)^3$€, usw.
Jahre | Kapital |
---|---|
0 | 1000.00€ |
1 | 1030.00€ |
2 | 1060.90€ |
3 | 1092.73€ |
4 | 1125.51€ |
5 | 1158.27€ |
6 | 1194.05€ |
- einige Banken verzinsen monatlich mit einem zwölftel der Jahreszinssumme
- bei so einer Bank beträgt der Wert nach einem Jahr $$ \left( 1 + \frac p{12} \right)^{12}€ $$
- Bei 3% Verzinsung ist $\frac p{12} = 0.25$%
- bei monatlicher Verzinsung werden so aus 1000.00€ in einem Jahr 1030.42€ (statt 1030.00€ bei jährlicher Verzinsung)
- bei 100% Jahreszinsen erhält man 2000.00€ bei jährlicher Verzinsung und 2613.00€ bei monatlicher Verzinsung
- man könnte auch täglich verzinsen, dann erhält man 2714.57€
- oder stündlich, dann erhält man 2718.13€
(1 + 1/365)**365
2.7145674820219727
Die Eulersche Zahl¶
Die Eulersche Zahl ist der Grenzwert dieses Prozesses
$$ e = 2.7182818284590451\ldots $$
Die Exponentialfunktion ist die Potenzfunktion zur Basis $e$. Sie wird mit $\exp$ bezeichnet $$ \exp(x) = e^x $$
Getaktete Verzinsung wie auf der Bank gibt es in der Biologie selten. Daher wird dort mit kontinuierlicher Verzinsung, also der Exponentialfunktion gerechnet.
Graph der Exponentialfunktion¶
Die auf der nächsten Folie verwendete Technik besprechen wir später genauer.
Die Warnungen ignorieren wir.
import seaborn as sns
from numpy import linspace, exp
x = linspace(0, 3)
ax = sns.lineplot(x=x, y=exp(x))
ax.grid(True)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("exp(x)");
Logarithmus¶
Natürlicher Logarithmus¶
- Die Exponentialfunktion besitzt eine Umkehrfunktion, genannt natürlicher Logarithmus und geschrieben $\ln(y)$
- In
python
heißt erlog
- es gelten
$$ \exp(\ln(y)) = y \quad\text{und}\quad \ln(\exp(x)) = x $$
- der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert
Graph des Logarithmus¶
from numpy import log, log10
ax = sns.lineplot(x=x, y=log(x))
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("ln(x)")
ax.grid(True)
/tmp/ipykernel_22733/2397678479.py:2: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log ax = sns.lineplot(x=x, y=log(x))
Rechenregeln für den Logarithmus¶
\begin{align*} e^{x+y} &= e^x \cdot e^y & \ln (a\cdot b) &= \ln(a) + \ln(b) \\ \left(e^{y}\right)^x &= e^{y \cdot x} & \ln(a^x) &= x \cdot \ln(a) \\ e^0 &= 1 & \ln(1) &= 0 \\ e^1 &= e & \ln(e) &= 1 \end{align*}
Logarithmen zu verschiedenen Bases¶
- Der Logrithmus zur Basis 10, genannt Zehnerlogarithmus wird geschrieben als $\lg$
- Auf Taschenrechner ist das allerdings anders
Basis | Text | python |
Taschenrechner |
---|---|---|---|
e | $\ln$ | log |
ln |
10 | $\lg$ | log10 |
log |
Die Umrechnungsformeln sind folgende
$$ \ln(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(e)} $$
$$ \lg(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} $$
Beispiele¶
um Ihren Taschenrechner auszuprobieren
log(100)
4.605170185988091
log10(100)
2.0