Mathematik für Biologiestudierende¶

Wintersemester 2023/24

10.01.2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Differentialrechnung¶

Ableitung als Grenzwert der Sekantensteigung¶

$$ \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}h $$

Beispiel¶

$$ f(x) = x^2 \cdot \exp(-x) $$$$ f'(x) = \left( 2x - x^2 \right) \cdot \exp(-x) $$

Abbildung für das Beispiel¶

Qualitatives Verhalten¶

• wenn $f'(x)>0$, dann wächst die Funktion
• wenn $f'(x)<0$, dann fällt sie

Das bedeutet: Für einen Hoch- oder Tiefpunkt $x_0$ von $f$ gilt $f'(x_0)=0$.

Höhere Ableitungen¶

• Die Ableitung der Ableitung nennt man zweite Ableitung und schreibt $f''(x)$ dafür
• Zweite Ableitungen treten in der Physik (als Beschleunigung) und überhaupt bei dynamischen Systemen auf
• "Die Infaltion hat sich abgeschwächt" bedeutet: "Die zweite Ableitung der Konsumentenpreise ist negativ"

Beispiel¶

$$ f(x) = x^2 \cdot \exp(-x) $$$$ f'(x) = \left( 2x - x^2 \right) \cdot \exp(-x) $$\begin{align*} f''(x) &= \left( 2 - 2x \right) \cdot \exp(-x) + \left( 2x - x^2 \right) (-x) \exp(-x) && \text{Produktregel} \\ &= \left( 2 - 4x + x^2 \right) \cdot \exp(-x) \end{align*}

• Wir wollen $f$, $f'$ und $f''$ in ein Bild zeichnen, und zwar mit seaborn
• Im Gegensatz zu df von oben benötigen wir dazu ein DataFrame in Langform
• Das bedeutet, dass die Werte $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ alle in derselben Spalte stehen und durch einen kategoriellen Wert in einer weiteren Spalte unterschieden werden
• Einige der statistische Auswertefunktionen erwarten die Daten in Langform

• sns.lineplot: Eine einzelne Kurve
• sns.relplot(…, kind='line'): mehrere Kurven
  • je nachdem, ob hue oder col zur Unterscheidung benutzt wird, erhält man einen oder mehrere Graphen

• sns.scatterplot: Eine einzelne Punktwolke
• sns.relplot(…, kind='scatter'): mehrere Punktwolken

Beispiel: Konzentrationen in einer Zelle¶

• Die Konzentration eines bestimmten Proteins in einer Zelle zum Anfangszeitpunkt $t=0$ beträgt $0\mu g/m\ell$
• Zuerst steigt sie schnell mit $0.8\frac{\mu g}{m\ell\cdot s}$
• Nach 2 Sekunden steigt die Konzentration nicht mehr, das Protein wird von da an exponentiell abgebaut

Modell¶

$$ f(t) = A \cdot t \cdot \exp(-b\cdot t) $$\begin{align*} f'(t) &= A \cdot \exp(-b \cdot t) + A \cdot t \cdot(-b) \cdot \exp(-b \cdot t) \\ &= (A - Abt) \cdot \exp(-b \cdot t) \end{align*}

Wir haben zwei Gleichungen

• f'(0) = 0.8
• f'(2) = 0

Einsetzen

• $f'(0) = A$, also $A=0.8$

• $f'(2) = 0$, also $ (A - 2Ab) \cdot \exp(-2b) = 0 $

• $\exp(-2b)$ ist nicht Null, also muss $ A -2b = 0$ gelten, d.h. $b=0.5$

Unser Modell ist also

$$ f(t) = 0.8t \cdot \exp(-0.5t) $$

• Maximum bei $t=2$, das ist eine der Ausgangsgleichungen
• Wert dort

Integralrechnung¶

Flächeninhalt¶

• $f(x)$ eine Funktion, die keine negativen Werte annimmt
• $a$ und $b$ Intervallgrenzen
• den Inhalt der Fläche unter $f(x)$ zwischen $a$ und $b$ bezeichnet man mit $$ \int_a^b f(x) dx $$
• $ \int_a^b f(x) dx $ ist das Integral von $f(x)$ in den Grenzen von $a$ bis $b$

Skizze¶

• Funktion $f(x)$ darf nun auch negative Werte annehmen
• Dann ist $$ \int_a^b f(x) dx $$ die Differenz zwischen dem Flächeninhalt oberhalb und dem Flächeninhalt unterhalb der $x$-Achse
• $\int_a^b f(x) dx$ ist also negativ, wenn die Fläche unterhalb der $x$-Achse größer ist als die Fläche oberhalb ist
• Das Zeichen $\int_a^b$ ist das "bestimmte Integral"

Skizze¶

Der Inhalt der grünen Fläche abzüglich des Inhalts der roten Fläche ist $\int_a^b f(x) dx$

Stammfunktion¶

Falls $$ F'(x) = f(x) $$

• dann ist $f$ die Ableitung von $F$
• und $F$ ist eine Stammfunktion von $f$
• Man schreibt $$

  \int f(x) dx = F(x)
  

  $$
• Das Zeichen $ \int $ ist das "unbestimmte Integral"

• Stammfunktionen sind nicht eindeutig
• Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann ist auch $F(x) + C$ eine Stammfunktion von $f(x)$, wenn $C$ eine Konstante ist
• Das liegt daran, dass $C' = 0$

Beispiel¶

• $\frac{x^2}2$ ist eine Stammfunktion von $x$, denn $(x^2)' = 2x$
• Wir schreiben $$ \int x\, dx = \frac{x^2}2 $$
• In Lehrbüchern findet man auch die Schreibweise $$ \int x\, dx = \frac{x^2}2 + C $$ um anzudeuten, dass die Stammfunktion nicht eindeutig ist

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung¶

Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Man schreibt $$ \int_a^b f(x) = F(x) \Bigr|_a^b $$

Beispiel $$ \int_0^5 x\, dx = \frac12 x^2 \Bigr|_0^5 = \frac12 5^2 - \frac12 0^2 = \frac{25}2 = 12.5 $$

Skizze¶

Das Dreieck füllt das Quadrat mit der Seitenlänge 5 zur Hälfte aus. Sein Flächeninhalt ist also tatsächlich gleich 12.5

Eigenschaften des Integrals¶

• Wenn $a<b<c$, dann $$ \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx $$

• Speziell $$ \int_a^a f(x) dx = 0 $$

Kontinuierliche Zufallsvariable¶

Eine Zufallsvariable $X$ heißt kontinuierlich mit Dichte $f$, wenn $$ P(a \le X < b) = \int_a^b f(x) dx $$

Man bezeichnet

• $f$ als Dichte und
• $F(x) = \int_{-\infty}^x f(x) dx$ als Verteilungsfunktion von $X$

• Wenn $f$ die Dichte und $F$ die Verteilungsfunktion ist, dann ist $F$ eine Stammfunktion der Dichte
• also $$ P(a\le X<b) = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Wegen $ \int_a^a f(x) dx = 0 $ gilt dann auch $$ P(a\le X \le b) = P(a<X<b) = P(a<X\le b) = F(b) - F(a) $$

Forderungen an die Dichte¶

Wenn $f$ die Dichte einer Zufallsvariablen sein kann, müssen Bedingungen erfüllt sein

$$ f(x) \ge 0 \text{ für alle $x$} $$$$ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 $$

Standard-Normalverteilung¶

• Die Dichte der Standardnormalverteilung ist die Gaußsche Glockenkurve $$ \varphi(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{x^2}2 \right) $$
• Die Verteilungsfunktion ist $$ \Phi(u) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^u \exp\!\left( -\frac{x^2}2 \right) dx $$
• Eine explizitere Formel gibt es nicht

Standard-Normalverteilung¶

Eigenschaften der Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung¶

• $\Phi(x) > 0$ für alle $x$
• $\lim_{x\to-\infty} \Phi(x) = 0$
• $\lim_{x\to\infty} \Phi(x) = 1$
• $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ für alle $x$ (Symmetrie an $x=0$)

Beispiel¶

• Die mittlere Halmlänge eines bestimmten Grases beträgt 10cm
• Die Zufallsvariable $X$ misst den Unterschied eines einzelnen Grashalms zur mittleren Halmlänge
• Unser Modell sagt, dass $X$ standard-normalverteilt ist
• Das bedeutet: Die Halmlänge in cm wird modelliert als $10+X$

Welcher Anteil der Halme hat eine Länge zwischen 9cm und 11cm?

Antwort $$ P(-1\le X<1) = \int_{-1}^1 \varphi(x) dx = \Phi(1) - \Phi(-1) $$

Welcher Anteil der Halme hat eine Länge von mindestens 10cm?

Antwort $$ P(0\le X) = \int_{0}^\infty \phi(x) dx = 1 - \Phi(0) $$

Welcher Anteil der Halme hat eine Länge von höchstens 8.2cm?

Antwort $$ P(X\le-1.8) = \int_{-\infty}^{-1.8} \phi(x) dx = \Phi(-1.8) $$

Hinweis: $10-8.2=-1.8$