Mathematik für Biologiestudierende II¶

Sommersemester 2024

28.05.2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Konfidenzintervalle¶

Konfidenzintervall für den Erwartungswert¶

• $X_1, \dots, X_n$ seien normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert und unbekannter Streuung
• Für den Erwartungswert soll ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ geschätzt werden
• Benötigt werden das $1 - \frac\alpha2$-Quantil $t_{n-1, 1-\alpha/2}$ der $t$-Verteilung mit $n-1$-Freiheitsgraden,
• das arithmetische Mittel $\overline x$ der Daten,
• und die Stichprobenstreuung $s$ der Daten

• Das Konfidenzintervall ist $$ \left[ \overline x - \frac{s \cdot t_{n-1, 1-\alpha/2}}{\sqrt n},\, \overline x + \frac{s \cdot t_{n-1, 1-\alpha/2}}{\sqrt n} \right] $$

Bedeutung des Konfidenzintervalls¶

• Das Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ ist ein Intervall, in welchem der wahre Erwartungswert $\mu$ mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ liegt
• Die beiden Grenzen des Konfidenzintervalls bezeichnet man als obere und untere Vertrauensgrenze
• Das Konfidenzintervall ist die zufallsbehaftete Größe, nicht der Erwartungswert

Beispiel: Roggenpflanzen¶

• Gesunde Roggenpflanzen einer bestimmten Art sind im Mittel $102.5cm$ lang. Die Länge sei normalverteilt
• Durch Umwelteinflüsse änderte sich möglicherweise die mittlere Halmlänge. Das soll zum Konfidenzniveau 95% überprüft werden
• Die folgenden Längen werden gemessen

• $1 - \alpha = 0.95$, also $\alpha = 0.05$ und $1 - \frac\alpha2 = 0.975$
• Es wird das Quantil $t_{9,0.975}$ benötigt

• Der Erwartungswert für gesunde Pflanzen beträgt 102.5$cm$. Da er nicht in dem Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 95% liegt, kann man zum Signifikanzniveau 5% sagen, dass die Roggenpflanzen geschädigt sind
• Kennt man also das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha$, so kann man den zweiseitigen t-Test zum Signifikanzniveau $\alpha$ durchführen

• dasselbe mit statsmodels

Plot des Konfidenzintervalls¶

Der gelbe Bereich ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 95%

Datenpaare¶

Die Datei enthält Alter und Blutdruck von 30 Probanden

Wir wollen die "beste" Gerade durch diese Punkte

Die Bedeutung des hellblauen Bereichs verstehen wir nach der Erläuterung der Geraden

Empirische Kovarianz¶

• Empirische Kovarianz: Wie empirische Varianz, aber für Datenpaare
• Wir haben $n$ Datenpaare $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n,y_n)$
• das arithmetische Mittel der $x_j$ ist $\overline x$, das der $y_j$ ist $\overline y$
• die empirische Kovarianz von $x$ und $y$ ist $$ \text{covar}_{\text{emp}}(x,y) = \frac1{n-1} \bigl( (x_1-\overline x)(y_1-\overline y) + (x_2-\overline x)(y_2-\overline y) + \dots + (x_n-\overline x)(y_n-\overline y)\bigr) $$

• Formel ohne Pünktchen $$ \text{covar}_{\text{emp}}(x,y) = \frac1{n-1} \sum_{j=1}^n (x_j - \overline x)(y_j - \overline y) $$
• Die Kovarianz misst, wie $x$ und $y$ zusammenhängen

• Die Tabelle zeigt für jedes Faktorpaar die zugehörige Kovarianz
• Sie ist symmetrisch
• Auf der Diagonalen stehen die empirischen Varianzen

Lineare Regression¶

• "Lineare Regression": Bestimmung einer Regressionsgeraden
• "linear": auf einer Gerade liegend
• "Gerade": Funktionsvorschrift $$ y = m \cdot x + b $$
• Hierbei ist
  • $m$ die Steigung der Geraden
  • $b$ der Ordinatenabschnitt der Geraden

• Die Regressionsgerade ist die Gerade mit der bestmöglichen Annäherung an die Datenpunkte
• "bestmöglich" bedeutet $$ \sum_{j=1}^n (m \cdot x_j + b - y_j)^2 \overset{!}{=} \min $$

Formel für die lineare Regression¶

• Gegeben: Datenpaare $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$
• Gesucht: Regressionsgerade $y = m \cdot x + b$
• Rechenvorschrift:
  \begin{align*} m &= \frac{\text{covar}_\text{emp}(x,y)}{s_x^2} \\ b &= \overline y - m \overline x \end{align*}
• Dabei:
  • $\overline x$ und $\overline y$: arithmetisches Mittel von $x$ und $y$
  • $s_x^2$ empirische Varianz von $x$
  • $\text{covar}_\text{emp}(x,y)$ empirische Kovarianz von $x$ und $y$

Beispiel Blutdruck¶

Blutdruckdaten: Interpretation¶

• Pro Jahr steigt der Blutdruck um 1.5$mm$Hg
• $b$ hat hier keine eigenständige Bedeutung, denn nahe $x=0$ wurden keine Daten erhoben
• Bei einem 50jährigen erwartet man einen Blutdruck von $$ 1.51 \cdot 50 + 80.4 = 155.9 $$
• Das ist absolut ungesund!

Bedeutung des hellblauen Bereichs¶

• seaborn berechnet ein Konfidenzintervall für $m$ und eins für $b$
• und daraus ein Konfidenzintervall für die erwarteten Werte für jedes Alter
• an den Rändern wird die Schätzung ungenauer, daher geht der Konfidenzbereich zu den Rändern hin etwas auseinander

• dasselbe für ein kleineres $\alpha$
• Achtung: der Parameter ci wird in % angegeben

• seaborn bestimmt das Konfidenzintervall mit einer nichtparametrischen Methode

Beispiel für zwei unkorrelierte Größen¶

• formal ist es auch möglich, Regressionsplot für zwei unkorrelierte Größen auszurechnen

• man glaubt, einen Zusammenhang zu sehen
• das ist ein Irrtum
• die Größe habe ich als normalverteilte Zufallsdaten an den Datensatz angefügt