Mathematik für Biologiestudierende II¶

Sommersemester 2024

04.06.2024

© 2024 Prof. Dr. Rüdiger W. Braun

Vorlesungsevaluation¶

  • Bitte füllen Sie den Evaluationsbogen aus
  • Der Bogen hat drei Seiten, die als zwei getrennte Blätter durchgereicht werden
  • Bitte stecken Sie den ausgefüllten Bogen in den Briefumschlag, der durch die Reihen geht
Nr Tag Zeit Leitung Nr Tag Zeit Leitung
1 Di 14:30 Adams 6 Do 12:30 Dreher (online)
2 Do 10:30 Dubovci 7 Do 17:30 Dreher (online)
3 Do 11:30 Dubovci 8 Fr 11:30 Mones
4 Di 13:30 Adams 9 Fr 12:30 Mones
5 Mi 12:30 Pukhova
In [1]:
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
import seaborn as sns
sns.set_theme()

Korrelation¶

  • Eine Korrelation zwischen zwei Datensätzen ist eine gemeinsame oder gegenläufige Tendenz.
  • Beispielsweise steigt der Blutdruck tendenziell mit dem Alter.
  • Gemessen wird die Korrelation durch den empirischen Korrelationskoeffizienten.
  • Der empirischen Korrelationskoeffizient beantwortet die Frage
 Gibt es eine Korrelation?
  • Die Antwort ist "ja", wenn der empirische Korrelationskoeffizient nahe bei $1$ oder bei $-1$ liegt.

Empirischer Korrelationskoeffizient¶

  • Kennzahl zur Überprüfung gemeinsamer Tendenz
  • $s_x$ sei die Stichprobenstreuung der $x_j$ und $s_y$ die Stichprobenstreuung der $y_j$
  • dann ist der empirische Korrelationskoeffizient gleich $$ r = \frac{\text{covar}_{\text{emp}}(x,y)}{s_x \cdot s_y} $$
  • Der Korrelationskoeffizient ist dimensionslos

Beispiel: Blutdruckdaten¶

Wir hatten in der letzten Woche die Kovarianz für die Blutdruckdaten bestimmt

In [2]:
df = pd.read_csv('blutdruckdaten.csv')
df.cov()
Out[2]:
Alter Blutdruck Größe
Alter 231.131034 348.572414 36.128966
Blutdruck 348.572414 750.271264 69.805057
Größe 36.128966 69.805057 28.617195
In [3]:
df.describe()
Out[3]:
Alter Blutdruck Größe
count 30.000000 30.000000 30.000000
mean 44.800000 147.933333 176.373333
std 15.202994 27.391080 5.349504
min 17.000000 108.000000 165.300000
25% 37.250000 125.250000 173.350000
50% 45.000000 144.500000 176.650000
75% 56.000000 173.250000 179.075000
max 69.000000 199.000000 189.000000
In [4]:
cor = 348.57 / (15.203*27.391)
cor
Out[4]:
0.837052741260317

Berechnung mit pandas¶

In [5]:
df.corr()
Out[5]:
Alter Blutdruck Größe
Alter 1.000000 0.837056 0.444235
Blutdruck 0.837056 1.000000 0.476392
Größe 0.444235 0.476392 1.000000

Interpretation¶

Der Korrelationskoeffizient zeigt an, ob zwei Datensätze eine gemeinsame Tendenz aufweisen

  • wenn er nahe bei $1$ liegt, dann wachsen $x$ und $y$ gemeinsam (gemeinsame Tendenz)
  • wenn er nahe bei $-1$ liegt, dann fällt $y$, wenn $x$ wächst (gegenläufige Tendenz)
  • wenn er nahe bei $0$ liegt, dann gibt es kein gemeinsames Verhalten
  • auch ein negativer Korrelationskoeffizient hat eine Bedeutung
  • Beispiel: Je weniger Pestizide ich im Garten ausbringe, desto mehr Bienen habe ich

Beispiele¶

Sehr gute Korrelation¶

In [6]:
df1 = pd.DataFrame()
P = stats.norm()
df1['x'] = np.arange(30)
df1['y'] = -2*df1['x'] + P.rvs(size=30)
df1
Out[6]:
x y
0 0 -1.486591
1 1 -1.184042
2 2 -4.739556
3 3 -7.513850
4 4 -8.014537
5 5 -8.981178
6 6 -12.287466
7 7 -11.871206
8 8 -15.786740
9 9 -16.194542
10 10 -19.393258
11 11 -23.270504
12 12 -24.049817
13 13 -27.855954
14 14 -28.356145
15 15 -28.294222
16 16 -33.086458
17 17 -33.262553
18 18 -35.568785
19 19 -38.689206
20 20 -39.626321
21 21 -40.555186
22 22 -42.716049
23 23 -46.663774
24 24 -49.322046
25 25 -49.358499
26 26 -52.406558
27 27 -54.241921
28 28 -55.718896
29 29 -56.107155
In [7]:
sns.regplot(df1, x='x', y='y');
No description has been provided for this image
In [8]:
df1.corr()
Out[8]:
x y
x 1.000000 -0.998036
y -0.998036 1.000000

schlechte Korrelation¶

In [9]:
df2 = pd.DataFrame()
df2['x'] = np.arange(30)
df2['y'] = P.rvs(size=30)
df2
Out[9]:
x y
0 0 -0.343372
1 1 -0.178586
2 2 -1.617203
3 3 0.307267
4 4 0.168177
5 5 -1.267749
6 6 -1.318201
7 7 0.612708
8 8 0.642231
9 9 -0.341919
10 10 0.500022
11 11 0.340752
12 12 0.685111
13 13 0.533139
14 14 0.315408
15 15 -0.212932
16 16 0.156780
17 17 1.960430
18 18 0.506358
19 19 -0.687712
20 20 -0.128412
21 21 1.016593
22 22 -0.119794
23 23 0.103425
24 24 1.545967
25 25 -0.917972
26 26 -0.292383
27 27 -0.467781
28 28 -0.079759
29 29 -1.099349
In [10]:
sns.regplot(df2, x='x', y='y');
No description has been provided for this image
In [11]:
df2.corr()
Out[11]:
x y
x 1.000000 0.101917
y 0.101917 1.000000
  • Man kann immer eine lineare Regression berechnen. Bei schlechter Korrelation ist sie allerdings bedeutungslos.

Regression zum Mittelwert¶

  • Der Begriff Regression kommt von Francis Galton, einem Neffen von Charles Darwin
  • Er hatte den auf der nächsten Folie gezeigten Datensatz analysiert
  • Auf der $x$-Achse stehen die Größen der Väter in Zoll
  • Auf der $y$-Achse stehen die Größen der Söhne in Zoll

Daten von F. Galton

Regression zum Mittelwert: Interpretation¶

  • Die Söhne ungewöhnlich großer oder kleiner Väter sind im Mittel selbst zwar auch größer bzw. kleiner als der Mittelwert, aber diese Differenz ist kleiner als bei den Vätern
  • Galton bezeichnet dies (ziemlich unfreundlich) als "Regression to mediocrity"
  • Das gilt aber nur für die Individuen, nicht für die Population als Ganzes
  • auch in der nächsten Generation gibt es wieder ungewöhnlich große Individuen, aber in anderen Familien

Korrelation $\ne$ Kausalität¶

  • Wenn der Korrelationskoeffizient von $x$ und $y$ nahe $0$ liegt, dann gibt es keinen kausalen Zusammenhang zwischen ihnen (seltene nichtlineare Pänomene mal ausgenommen)
  • Man kann aber im umgekehrten Fall von einem Korrelationskoeffizienten nahe bei $1$ nicht auf einen kausalen Zusammenhang schließen
  • Zum Beispiel nimmt seit Jahrzehnten in Deutschland sowohl die Zahl der Geburten als auch die Zahl der Störche ab
  • Der kausale Zusammenhang ist aber umstritten
  • Beispiel aus der Schlafforschung: Mittagsschlafdauern über 90 Minuten sind ungesund
  • Bei Menschen korreliert die Rechtschreibfähigkeit mit der Schuhgröße
  • zumindest bei Menschen unter zehn Jahren

xkcd Cartoon 552

Quelle: http://xkcd.com/552

Beispiel: Bleibelastung im Gewebe von Ratten¶

  • kontaminiertes Gelände: fange 10 Ratten
  • unbelastetes Vergleichsgelände: fange 10 Ratten
  • für jede Ratte wird ihr Alter in Monaten und der Bleigehalt im Gewebe bestimmt
In [12]:
df = pd.read_csv('ratten.csv')
df
Out[12]:
Alter Belastung Gelände
0 10 63 unbelastet
1 12 67 unbelastet
2 6 55 unbelastet
3 6 42 unbelastet
4 11 73 unbelastet
5 13 69 unbelastet
6 12 73 unbelastet
7 10 75 unbelastet
8 9 58 unbelastet
9 8 50 unbelastet
10 8 70 belastet
11 10 60 belastet
12 4 53 belastet
13 4 50 belastet
14 9 77 belastet
15 11 78 belastet
16 10 81 belastet
17 8 65 belastet
18 7 64 belastet
19 6 67 belastet
In [13]:
df_b = df[df.Gelände=='belastet']
df_u = df[df.Gelände=='unbelastet']
In [14]:
df_b.describe()
Out[14]:
Alter Belastung
count 10.000000 10.000000
mean 7.700000 66.500000
std 2.451757 10.384283
min 4.000000 50.000000
25% 6.250000 61.000000
50% 8.000000 66.000000
75% 9.750000 75.250000
max 11.000000 81.000000
In [15]:
df_u.describe()
Out[15]:
Alter Belastung
count 10.000000 10.000000
mean 9.700000 62.500000
std 2.451757 11.017663
min 6.000000 42.000000
25% 8.250000 55.750000
50% 10.000000 65.000000
75% 11.750000 72.000000
max 13.000000 75.000000
  • Es gibt einen Unterschied in der Bleibelastung; aber auch eine große Stichprobenstreuung.
In [16]:
stats.ttest_ind(df_u.Belastung, df_b.Belastung, alternative='less')
Out[16]:
TtestResult(statistic=-0.8354714854531734, pvalue=0.20720251637482168, df=18.0)
  • Der Unterschied ist nicht signifikant.
  • Es fällt aber auf, dass die Ratten von dem belasteten Gebiet im Mittel jünger als die anderen sind.
  • Wir wollen das Alter herausrechnen
  • Steigt die Bleibelastung mit dem Alter
In [17]:
df_b.corr(numeric_only=True)
Out[17]:
Alter Belastung
Alter 1.000000 0.796465
Belastung 0.796465 1.000000
In [18]:
df_u.corr(numeric_only=True)
Out[18]:
Alter Belastung
Alter 1.00000 0.82883
Belastung 0.82883 1.00000

Wir plotten beide Regressionen in ein Bild, ähnlich wie bei distplot

In [19]:
sns.lmplot(df, x='Alter', y='Belastung', hue='Gelände');
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